The Locker problem

The school has 1000 students and 1000 lockers. On the first day, all the lockers were open. Student 1 closes each locker, Student 2 opens every second locker, Student 3 opens every third locker and so on. After all the 1000 lockers are done. Which lockers are closed or open and why?

Let us start considering 30 at a time

 1.C  C  C  C   C  C  C  C  C  C  C  C  C  C   C  C  C  C  C  C  C  C  C  C   C  C  C  C  C  C

2. C  O  C  O  C  O  C  O  C  O  C  O  C  O  C  O  C  O  C  O  C  O  C  O  C  O  C  O  C  O 

3. C  O  O  O  C  C  C  O  O  O  C  C  C  O  O  O  C  C  C  O  O  O  C  C  C  O  O  O  C  C

4. C  O  O  C  C  C  C  C  O  O  C  O  C  O  O  C  C  C  C  C  O  O  C  O  C  O  O  C  C   C

5. C  O  O  C  O  C  C  C  O  C  C  O  C  O  C  C  C  C  C  O  O  O  C  O  O  O  O  C  C   O

6. C  O  O  C  O  O  C  C  O  C  C  C  C  O  C  C  C  O  C  O  O  O  C  C  O  O  O  C  C   C

7. C  O  O  C  O  O  O  C  O  C  C  C  C  C  C  C  C  O  C  O  C  O  C  C  O  O  O  O  C   C

8. C  O  O  C  O  O  O  O  O  C  C  C  C  C  C  O  C  O  C  O  C  O  C  O  O  O  O  O  C  C

9. C  O  O  C  O  O  O  O  C  C  C  C  C  C  C  O  C  C  C  O  C  O  C  O  O  O  C  O  C   C

10 C  O  O  C  O  O  O  O  C  O  C  C  C  C  C  O  C  C  C  C  C  O  C  O  O O  C O  C   O

11.C  O  O  C  O  O  O  O  C  O  O  C  C  C  C  O  C  C  C  C C  C C  O  O  O  C  O  C   O

12.C  O  O  C  O  O  O  O  C  O  O  O  C  C  C  O  C  C  C  C C  C C  C  O  O  C  O  C   O

13.C  O  O  C  O  O  O  O  C  O  O  O  O  C  C  O  C  C  C  C C  C C  C  O  C  C  O  C   O

14.C  O  O  C  O  O  O  O  C  O  O  O  O  O  C  O  C  C  C  C C  C C  C  O  C  C  C  C   O

15.C  O  O  C  O  O  O  O  C  O  O  O  O  O  O  O  C  C  C  C C  C C  C  O  C  C  C  C   C

16.C  O  O  C  O  O  O  O  C  O  O  O  O  O  O  C  C  C  C  C C  C C  C  O  C  C  C  C   C

17.C  O  O  C  O  O  O  O  C  O  O  O  O  O  O  C  O  C  C  C C  C C  C  O  C  C  C  C   C

18.C  O  O  C  O  O  O  O  C  O  O  O  O  O  O  C  O  O  C  C C  C C  C  O  C  C  C  C   C

19.C  O  O  C  O  O  O  O  C  O  O  O  O  O  O  C  O  O  O  C C  C C  C  O  C  C  C  C   C

20.C  O  O  C  O  O  O  O  C  O  O  O  O  O  O  C  O  O  O  O C  C C  C  O  C  C  C  C   C

21.C  O  O  C  O  O  O  O  C  O  O  O  O  O  O  C  O  O  O  O O  C C  C  O  C  C  C  C   C

22.C  O  O  C  O  O  O  O  C  O  O  O  O  O  O  C  O  O  O  O O  O C  C  O  C  C  C  C   C

23.C  O  O  C  O  O  O  O  C  O  O  O  O  O  O  C  O  O  O  O O  O O  C  O  C  C  C  C   C

24.C  O  O  C  O  O  O  O  C  O  O  O  O  O  O  C  O  O  O  O O  O O  O  O  C  C  C  C   C

25.C  O  O  C  O  O  O  O  C  O  O  O  O  O  O  C  O  O  O  O O  O O  O  C  C  C  C  C   C

26.C  O  O  C  O  O  O  O  C  O  O  O  O  O  O  C  O  O  O  O O  O O  O  C O  C  C  C   C

and so on,

On careful observation, it is observed that the closed lockers are 1, 4, 9, 16, 25....which are the squares of the numbers starting from 1 to 31. Since square of 32 is 1024 which is bigger than the given number of lockers. So , the closed locker numbers are 1,4,9,16,25,36,49,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529,576,625,676,729,784,841,900,961. rest all the lockers are open. It is interesting to see that child at serial number 500 opens or closes the locker just twice because there are only 2 multiples of 500 till 1000, child at 501 opens or closes the locker only once because the next multiple 1002 is beyond 1000. Student number 3 opens or closes the lockers 333 times.Therefore it can be concluded that child opens or closes the locker as many times their serial number goes into 1000.